Automatic Sequences and Related Topics Suites Automatiques Et Sujets Reliés
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numeration systems are a natural generalization of positional numeration systems whose set of representations of all the integers is a regular language. They were introduced five years ago by P. Lecomte and myself [3] and are defined in the following way. Consider any infinite regular language L over a totally ordered alphabet (A,<). An abstract numeration system is thus simply given by the triple S = (L,A,<). The words of L can be enumerated with respect to the genealogical ordering induced by the total ordering of A. We therefore have a one-to-one correspondence between the set of nonnegative integers and the language L. We say that the (n+ 1)-st word of L is the S-representation of the integer n. In this general setting, various notions arising in the study of “classical” numeration systems (p-ary system or systems built over a strictly increasing sequence of integers like the Fibonacci system) can be generalized and may give rise to new phenomena. In particular, if we consider a finite automaton with output fed with the S-representations of the successive integers, we obtain a notion of ”generalized” automatic sequence or S-automatic sequence [5], [6]. In this talk, I will mainly focus on a problem related to completely additive functions defined over the alphabet A and taking real values, i.e., f(a1 · · · ak) = f(a1) + · · ·+ f(ak) for any finite word a1 · · · ak over A. With P. Grabner, we have studied, in the framework of abstract numeration systems, as a first step the asymptotic behaviour of the summatory function of additive functions [1] and as a second step the distribution of such functions [2]. The obtained results can naturally be applied to study the frequency of a symbol appearing in a generalized automatic sequence (assuming that the frequency exists) [4].
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تاریخ انتشار 2006